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In mwbamatematica si chiamano mwbqpostulati o mwbgassiomi tutti e soli gli enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri. Generalmente forniscono il punto di partenza per delineare un quadro teorico come può essere quello della mwbwteoria degli insiemi, della mwcageometria, dell'mwcqaritmetica, della mwcgteoria dei gruppi o del mwcwcalcolo delle probabilità.

Nella mwdqlogica matematica l'idea di mwdgassioma e mwdwdimostrazione viene completamente formalizzata. Gli assiomi di una mweateoria proposizionale o di una mweqteoria del primo ordine sono un ben definito insieme di mwegformule che possono essere usate nella teoria per costruire dimostrazioni formali. In questo ambito si fa una netta distinzione tra le due nozioni di mwewassioma logico e mwfaassioma non-logico.

• Assiomi logici

• Esempi

• Assiomi non-logici

• Esempi

• Sistemi deduttivi

• Ulteriori considerazioni

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Sono mwgqformule valide, cioè formule che sono soddisfatte da ogni mwhamodello (ovvero da ogni mwhqstruttura) per ogni assegnamento delle variabili. In termini più colloquiali, gli assiomi sono enunciati che sono mwhgveri in ogni possibile universo, nell'ambito di ogni possibile interpretazione e con ogni assegnamento di valori.

Per poter mwiaaffermare che una formula è un assioma logico, dobbiamo sapere che è valida. Dunque dovrebbe essere necessario fornire una dimostrazione della sua verità in ogni modello. Questo si trova in conflitto con la nozione classica di assioma e costituisce almeno una delle ragioni per le quali, in mwiqlogica matematica, gli assiomi mwignon sono considerati come enunciati mwiwovviamente veri o mwjaevidenti di per sé.

Gli assiomi logici, essendo mere formule, sono privi di ogni significato; il punto è che quando sono interpretati in ogni universo, essi valgono sempre, quali che siano i valori assegnati alle variabili. Dunque questa nozione di mwjgassioma è forse la più vicina al significato che si intende attribuire alla parola: gli assiomi sono veri, al di là di tutto.

Un esempio di assioma, utilizzato virtualmente in ogni sistema deduttivo, è:

mwkwmwlaAssioma di uguaglianza. mwlq mwlgmwlw ∀ ∀ x ( x = x ) {\displaystyle \forall x(x=x)}

Su questo esempio (dall'aspetto scarno), perché non cada nella vaghezza e in una cascata senza fine di "nozioni primitive", si danno due possibilità: o si deve stabilire in partenza una nozione precisa di quello che intendiamo con il segno "=" (ovvero per quello che conta, con l'espressione "essere uguale"); oppure si deve imporre un utilizzo puramente formale e sintattico del mwmqsimbolo "=" , e la mwmglogica matematica fa proprio questo, delegando giustamente il significato di "=" alla mwmwteoria assiomatica degli insiemi.

Un altro esempio più interessante è:

mwngmwnwAssioma di istanziazione universale. Data una formula mwoa ϕ ϕ {\displaystyle \phi } in un linguaggio del primo ordine mwoq L {\displaystyle \,{\mathfrak {L}}} , una variabile mwog x {\displaystyle \,x} e un termine mwow t {\displaystyle \,t} che risulta sostituibile per mwpq x {\displaystyle \,x} in mwpg ϕ ϕ {\displaystyle \,\phi } , la formula mwpwmwqa ∀ ∀ x ϕ ϕ → → ϕ ϕ t x {\displaystyle \forall x\phi \to \phi _{t}^{x}} mwqqè valida.

Questo assioma stabilisce semplicemente che se sappiamo che mwqw ∀ ∀ x P ( x ) {\displaystyle \,\forall xP(x)} per qualche proprietà mwra P {\displaystyle \,P} e mwrq t {\displaystyle \,t} è un particolare mwrgtermine nel linguaggio (cioè rappresenta un particolare mwrwoggetto nella struttura che stiamo trattando), allora dovremo essere in grado di affermare mwsa P ( t ) {\displaystyle \,P(t)} .

Un esempio simile è:

mwswmwtaAssioma di generalizzazione esistenziale. Data una formula mwtq ϕ ϕ {\displaystyle \,\phi } in un linguaggio del primo ordine mwtg L {\displaystyle \,{\mathfrak {L}}} , una variabile mwtw x {\displaystyle \,x} e un termine mwua t {\displaystyle \,t} che è sostituibile per mwug x {\displaystyle \,x} in mwuw ϕ ϕ {\displaystyle \,\phi } , la formula mwvamwvq ϕ ϕ t x → → ∃ ∃ x ϕ ϕ {\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x\phi } mwvgè valida.

Nell'ambito di una teoria sono formule che svolgono il ruolo dei presupposti specifici della teoria stessa. Si possono sviluppare le analisi di due differenti strutture, per esempio i mwwqnumeri naturali e gli interi, servendosi degli stessi assiomi logici; gli assiomi non-logici hanno il compito di catturare quello che è specifico di una particolare struttura (o di una specie di strutture, come i mwwggruppi algebrici). Dunque gli assiomi non-logici, contrariamente agli assiomi logici, non sono mwwwtautologie. Termine spesso considerato sinonimo di assiomi non-logici è mwxapostulato.

Quasi ogni teoria matematica moderna parte da un dato sistema di assiomi non-logici. Si pensava che in linea di principio ogni teoria potesse essere assiomatizzata in questo modo e potesse essere formalizzata fino a un puro linguaggio di formule logiche. Questa prospettiva si è rivelata impossibile.

and proved to be quite a story.

Da questo segue il ruolo degli assiomi non-logici, che devono semplicemente costituire un punto di partenza in un sistema logico. Dato che sono fondamentali nello sviluppo di una teoria, in genere risulta opportuno che nel discorso matematico essi siano chiamati semplicemente gli mwyaassiomi della teoria, ma, va ribadito, non per esprimere che essi sono enunciati veri e neppure per significare che essi sono presupposti dotati di verità. Un esempio ben chiaro: in alcuni mwyqgruppi l'operazione di moltiplicazione è mwygcommutativa, in altri non lo è.

Dunque un mwzaassioma è una base elementare per un sistema logico formale e insieme alle mwzqregole di inferenza definisce un mwzgsistema deduttivo.

Sono numerose le teorie che si basano su un proprio sistema di assiomi non-logici:

Aritmetica, mwaggeometria euclidea, mwawalgebra lineare, mwbaanalisi reale, mwbqtopologia, mwbgteoria dei gruppi, mwbwteoria degli insiemi, mwcageometria proiettiva, mwcqgeometria simplettica, algebre di von Neumann, mwcwteoria ergodica, mwdaprobabilità, e tante altre. Inoltre periodicamente vengono proposte nuove teorie del suddetto genere e vengono formulate loro varianti; queste possono risultare interessanti per svariati motivi: in quanto più essenziali e terse, o al contrario più intuitive (anche se a costo di qualche ridondanza); in quanto più generali o viceversa in quanto più specifiche e stringenti.

In tutto questo formalismo, gli mwdwassiomi di Peano costituiscono la mweaassiomatizzazione dell'mweqaritmetica più largamente adottata; essi costituiscono un sistema di assiomi non-logici sufficientemente ricco da consentire la dimostrazione di numerosi fatti rilevanti della mwegteoria dei numeri; essi hanno anche consentito a mwewKurt Gödel di stabilire il suo mwfasecondo teorema di incompletezza

Esso adotta il linguaggio mwfg L N T = { 0 , S } {\displaystyle \,{\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}} dove mwfw 0 {\displaystyle \,0} è un simbolo costante e mwga S {\displaystyle \,S} una funzione univariata, ovvero un operatore unario. I postulati sono:

1. mwgw ∀ ∀ x ¬ ¬ ( S x = 0 ) {\displaystyle \forall x\,\lnot (Sx=0)}

2. mwhq ∀ ∀ x ∀ ∀ y ( S x = S y → → x = y ) {\displaystyle \forall x\forall y\,(Sx=Sy\to x=y)}

3. mwhw ( ( ϕ ϕ ( 0 ) ∧ ∧ ∀ ∀ x ( ϕ ϕ ( x ) → → ϕ ϕ ( S x ) ) ) → → ∀ ∀ x ϕ ϕ ( x ) {\displaystyle (\,(\phi (0)\land \forall x\,(\phi (x)\to \phi (Sx))\,)\to \forall x\,\phi (x)} per ogni formula mwia ϕ ϕ {\displaystyle \,\phi } in mwiq L N T {\displaystyle \,{\mathfrak {L}}_{NT}} contenente una variabile libera.

A tale sistema corrisponde una struttura standard mwiw N =< N , 0 , S > {\displaystyle \,{\mathfrak {N}}=<\mathbb {N} ,0,S>} nella quale mwja N {\displaystyle \,\mathbb {N} } è interpretato come l'insieme dei numeri naturali, mwjq S {\displaystyle \,S} come funzione successore e mwjg 0 {\displaystyle \,0} è naturalmente interpretato come il numero 0.

Il sistema di assiomi più ricco di meriti storici e più famoso è il sistema dei mwkq4 + 1 postulati di mwkgEuclide. Esso si rivela incompleto e per dare solido fondamento alla sua geometria sono necessari molti altri postulati (mwkwDavid Hilbert nei suoi mwlaGrundlagen der Geometrie ne ha adottati 23).

Si usa l'espressione "4 + 1" in quanto per quasi due millenni vi è stata la convinzione che il mwlgquinto postulato (delle parallele) (per un punto esterno ad una retta passa una e una sola parallela) fosse deducibile dai primi quattro. Nella prima parte del mwlwXIX secolo il quinto postulato si è dimostrato essere indipendente dai primi quattro. In effetti è possibile assumere che non esista alcuna parallela per un punto esterno ad una data retta, oppure che ne esista una e una sola, o anche che ne esistano infinite. Queste scelte ci danno forme alternative di geometrie caratterizzate in particolare dall'avere la somma degli angoli interni di un triangolo, rispettivamente, maggiore, uguale e minore di un mwmaangolo piatto; queste tre geometrie sono chiamate, rispettivamente, mwmqgeometria ellittica, mwmgeuclidea e mwmwiperbolica.

I mwngnumeri reali, i numeri a fondamento dell'mwnwanalisi reale, sono introdotti rigorosamente con gli assiomi di un mwoacampo archimedeo mwoqcompleto chiuso reale; questi assiomi lo definiscono univocamente a meno di un mwowisomorfismo. Accade tuttavia che per esprimere queste proprietà si deve ricorrere alla logica del secondo ordine. I mwpqteoremi di Löwenheim-Skolem ci dicono che se ci limitiamo alla mwpglogica del primo ordine, ogni sistema di assiomi per i reali ammette altri modelli e tra questi ve ne sono sia di più ridotti dei reali che di più estesi. Alcuni modelli del secondo genere sono studiati nell'mwpwanalisi non-standard.

I logici chiamano mwqgsistema deduttivo il complesso formale costituito da un sistema mwqw Λ Λ {\displaystyle \,\Lambda } di assiomi logici, da un sistema mwra Σ Σ {\displaystyle \,\Sigma } di assiomi non-logici e da un insieme mwrq { ( Γ Γ , ϕ ϕ ) } {\displaystyle \,\{(\Gamma ,\phi )\}} di mwrgregole di inferenza. Si pone il problema di individuare tali sistemi. Il mwrwteorema di completezza di Gödel stabilisce che ogni sistema deduttivo con un sistema di assiomi non-logici mwsaconsistente è mwsqcompleto,

se mwta Σ Σ ⊨ ⊨ ϕ ϕ {\displaystyle \Sigma \models \phi } , allora mwtq Σ Σ ⊢ ⊢ ϕ ϕ {\displaystyle \Sigma \vdash \phi } mwtg ;

in altre parole, per ogni enunciato che è una mwuaconseguenza logica di mwuq Σ Σ {\displaystyle \Sigma } , esiste una mwugdeduzione dell'enunciato stesso da mwuw Σ Σ {\displaystyle \Sigma } . In termini ancor più semplici, qualunque fatto che è vero per un dato sistema di assiomi può essere dimostrato mwvada questi assiomi (mediante regole di inferenza ragionevoli).

Si osservi che la sottile differenza fra questo teorema e il successivo ugualmente celebre mwvgprimo teorema di incompletezza di Gödel, che stabilisce che nessun mwvwinsieme ricorsivo mwwaconsistente di assiomi non-logici mwwq Σ Σ {\displaystyle \Sigma } della Teoria dell'aritmetica è mwwgcompleto, nel senso che esiste sempre un enunciato aritmetico vero mwww ϕ ϕ {\displaystyle \,\phi } tale che né mwxa ϕ ϕ {\displaystyle \phi } né mwxq ¬ ¬ ϕ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } possono essere dimostrati (il che è diverso dal dire che mwxg ϕ ϕ {\displaystyle \phi } viene dimostrato falso - semplicemente significa quello che dice, che non vi può essere una deduzione da mwxw Σ Σ {\displaystyle \Sigma } a mwya ¬ ¬ ϕ ϕ {\displaystyle \lnot \phi } ) ottenuta dal dato insieme di assiomi.

Quindi si contrappongono da un lato la nozione di mwygcompletezza di un sistema deduttivo e dall'altra quella di mwywcompletezza di un insieme di assiomi non-logici.

La morale è che ogni fatto che possiamo derivare da un sistema di assiomi (logico o non-logici) non è necessario come un assioma. Qualunque enunciato che non possiamo derivare dagli assiomi e del quale non possiamo neppure derivare la negazione può ragionevolmente essere aggiunto al sistema in causa.

I matematici del passato consideravano la geometria assiomatica come un modello dello mwzwspazio fisico e che potesse esistere un solo modello del genere. L'idea che potessero esistere sistemi matematici alternativi non fu facile da accettare da parte dei matematici del mw0aXIX secolo e gli sviluppatori di sistemi come l'mw0qalgebra booleana fecero sforzi elaborati per derivarli dall'aritmetica tradizionale. mw0gGalois proprio prima della sua precoce morte aveva mostrato che questi sforzi erano in gran parte sprecati, ma che i parallelismi riscontrati fra i sistemi assiomatici potevano essere messi a frutto, quando egli risolveva algebricamente molti problemi geometrici classici. Successivamente i parallelismi astratti fra sistemi algebrici risultarono più importanti dei dettagli e questo segna la nascita dell'mw0walgebra moderna.

• mw1wAssioma

• mw2qSistema assiomatico

• mw2wAssiomi di Peano

• mw3qAssioma della scelta

• mw3wTeoria assiomatica degli insiemi

• mw4qPostulato delle parallele

• mw4wAssiomatizzazione

Altri progetti

• Wikiquote

• Wikiquote contiene citazioni di o su assioma

• citerefdizionario-di-filosofiaassioma, in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Axiom, su MathWorld, Wolfram Research.

• mw6gMetamath axioms page, su metamath.planetmirror.com. URL consultato il 24 febbraio 2005 (archiviato dall'url originale il 5 marzo 2005).

*[[Categoria:Algebra astratta]] [[Categoria:Logica]]